WHY TEACH MATHEMATICS? 20091001

學校數學教育的主要目標有四項，分別為：

1. To reproduce mathematical skill and knowledge based capability
再生數學的技巧及知(識)能(力)

典型的傳統數學課程主要就是培養學生基本的數學知識與技能，包含一些數學的閱讀、計算與解題。學生的學習通常只能透過師長的教導、書本及考試，因此，在學習的過程中，除了習得解題的能力，同時也被灌輸了社會的階級與不公正。這或許是因為傳統的教學使學生被動學習，以及師長在二種權威間的轉換，所共同造就的結果。師長為了維持一個良好的學習環境，因此會利用師長的權威，也就是一種社會階級的權威來使學生服從，並營造且維持一個基本的學習環境。但是在進行數學教學活動時，教師應是利用自身的專業知識使學生產生信服，並帶領學生進行數學原理、方法及解決問題的教學。但，由於在進行教學活動時同時也得兼顧教室的秩序，兩種權威的轉換及使用時機並不容易劃分得很清楚，因此容易造成學生們適應上混亂。即便師長對於數學原理原則進行引導及解釋，但囿於階級權威的影響，學生們對於未能理解及建構的概念，也不敢懷疑或提問，造成被動的灌輸，也流於未理解即強加記憶，這般建構的基模，對於較進階的數學學習是不利的。

2. To develop creative capabilities in mathematics
發展數學創新知能

較進步的數學教學活動，通常是允許學習者透過問題解決、探究活動等方式，有創意地利用各種方式表達自己的看法。就如同學習過程中的解答題目，學習者同樣也可以提出各式數學的問題、迷惑及困難。這樣的概念可增進學習者個人的創意發展及答題技巧，這是學校數學教育的目標之一。但若未能考慮到社會背景的影響，便容易流於個人主義的意識形態。因此，利用建構主義的探究式教學法，讓學習者在既有的基模上嘗試各式各樣的可能性，再透過分類及尋找規則，逐漸同化或調適基模，進行概念的形成。接著，進行小組的分享與討論，因組員間想法的相互激盪，可產生出更有創意的點子，且形成小組共有的概念。相較於傳統的講述式教學，探究式教學可以給學生更多的發展及空間，對人格的養成也會有一定的影響。

3. To develop empowering mathematical capabilities and a critical appreciation of the social applications and uses of mathematics

精進數學知能，以及發展數學在社會應用方面的批判性鑑賞

批判的數學教育，透過發展批判數學素養能力及數學賞析，使學習者的彰權鑲嵌於社會及政治背景中。因此，學習者不但具有提出並解決數學問題的能力，還能處理社會上與數學應用相關的問題。依布魯姆(B. S. Bloom)等人在1956年提出認知領域教育目標分類(A taxonomy of educational objectives )，即為所謂的「記憶、理解、應用、分析、綜合、評鑑」，學校數學教育的第三個目標是希望學習者能將課室中的所學，應用於社會及日常生活中，進行問題的分析及解決，這是屬於較高層次的認知。

4. To develop an inner appreciation of mathematics: its big ideas and nature

發展對數學的內部鑑賞：重要概念及本質

學校數學教育中第四個目標，是進一步地進行對數學內在概念及本質的鑑賞。這種賞析對數學家及一般數學使用者其實是相似的，是一種對人類文化及自我美學產生獨特的貢獻，而學校的數學教育常忽略這一點。人們總以為內在的數學的賞析能力須建築於相對應的數學能力之上，而其實不然。

學校的數學教育常使數學在某方面被高估，以做為一個工具來說，其實大多數的人並不需要習得那麼高深的數學知識與技能，學校教授的高深數學知識，或許在大多數人的一生中都沒有機會可以運用到，數學的功能在社會及經濟中並不是那麼顯而易見。其次，數學造詣常被當成智慧及心智發展的判斷指標，必需是數學好的人才有機會進入某些專業的職業領域。由於數學扮演著這樣過濾的角色，相對也造成了社會上的不公平。相同的，學校的數學教育也使數學在某方面被低估。除了因實用性及工具性使人們支持數學的學習外，數學的內在價值中亦包含了許多人類文化中智力的挑戰及令人興奮的概念，數學亦可以是一種哲學、藝術、科學、技術及社會科學，每位數學學習者皆有權利可以研究數學並進行數學的賞析。總之，因為學習數學可以再生數學的技巧及知能、發展數學創新知能、精進數學知能和發展數學在社會應用方面的批判性鑑賞、以及發展對數學的內部鑑賞，因此數學學習被認為是學校教育中不可或缺的一環。

數學學習心理學20090928

反思：

intuitive intelligence在本書中翻譯成「直覺智慧」，而Bollas (2002)在Free Association一書及中國大陸的學者將intuitive intelligence翻譯為「直觀智能」，即便如此，二者意涵似乎差異不大，皆是意指直接由感官（尤其是視覺和聽覺）認知外界環境的資料，然後自動將其分類，與其它資料發生相關。另外，Piaget認知發展階段中的前運思期(preoperational period)，此一時期又稱直覺智力時期，這時的兒童能運用象徵環境的各種符號來表示他內在的意象(representations)或對於外在世界的思想。綜合上述，學生認為intuitive intelligence的翻譯以「直覺智力」為佳。

reflective intelligence在本書中的翻譯為「反射智慧」。Perkins提出reflective intelligence的觀念，認為反思智力是可經教導與學習而獲得的，其內容包括自我管理、自我審查與自我修正調節等。Lazear（1994）進一步將學生學習的層面做進行分析，分為誘發潛存的智能(tacit intelligence)、覺知自己的智能(aware intelligence)、運用策略提高智能(strategic intelligence)及自我反省以增進智能( reflective intelligence)，其中，reflective intelligence層面在統整各種有效的理論與經驗，去因應社會的變遷，更可從多元的學習中獲得生活的樂趣，並不斷自我檢討以提高應用能力與專精能力，以發展最高層次的智能。因此，考量到流動智力與結晶智力(Kunamann & Baltes, 2003)等柏林智慧模式，學生認為將reflective intelligence稱為「反思智力」或許是一個較佳的翻譯方式。

即便較為理解intuitive intelligence及reflective intelligence的意涵，但第59頁關於心靈影像(schema)的圖示部分仍未能理解。在生理學中，除了受器及動器進行訊息的接收及反應外，其餘的心智活動應該皆是在大腦內完成，因此，在二個中介的心智活動間，為何仍有接受及感應的感官參與？讓人百思不解。這個新接到的訊息無法透過同化（assimilation）來擴張自己的基模，沒有辦法判斷是原著的錯誤，還是需要讓自己獲得更多經驗後，才能利用調適（accommodation）的方式重建自己的基模。

預習：

第七章中「二種權威」的部分讓人心有戚戚焉，在理想上，一個老師既要是軍隊的訓練班長（管理學生）、又要是交響樂團的指揮者（以自己的學識風範贏得學生敬愛），要在這兩個角色間取得平衡。一個老師要同時執行訓練控制權威及知識權威固然不易，學生在接受這種權威之間的轉換亦不是件簡單的事。若沒有第一種權威，則學習的環境不易營造；若沒有使用第二種權威解答學生的質疑和反對(甚至鼓勵學生質疑和反對)，學生也無法真正理解，無法了解內涵意義後做出心靈影像擴大後的具體表現。將語言、科學及數學的學習做比較，除了語言的對與錯是憑老師的權威來判斷(老師專業知識的權威)，科學的學習其實與數學一樣，皆具有一致性(consistency)的特性（科學的是非並非全由實驗來證明），亦即皆具有可重複性及再現性，老師及學生都是受同一規則約束，這些規則並非獨裁者規定，而是大家共有的想法，換句話說，第二種權威其實是師生可以共同享有，更可透過討論、說明理由及彼此的分享，增進對主題事物的了解。